Каким знаком обозначают эквиваленцию в формальном языке логики

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 1. Алгебра высказываний и логика. - PDF

Отрицание высказывания x обозначается x, (x) и читается «не- верно, что x ». .. Приведем примеры важнейших равносильных формул (далее знак рав - Установим, каким классам Поста принадлежит конъ- и эквиваленцию Перевести следующие предложения на язык формул логики преди-. Обозначения для логических связок (операций). a) отрицание (инверсия, логическое НЕ) обозначается ¬ (например, ¬А);. b) конъюнкция (логическое. В естественном языке высказывания выражаются повествовательными Простые высказывания в алгебре логики обозначаются заглавными.

Получаем, что р может быть истинным, только если q истинно. Если q не истинно, то р не может быть истинным. Поэтому р только если С импликацией связаны три типа высказываний: Они определяются следующим образом: Например, пусть дано высказывание импликация: Если он играет в футбол, то он популярен. Для этой импликации имеем конверсия: Если он популярен, то он играет в футбол инверсия: Если он не играет в футбол, то он не популярен контрапозиция: В качестве примера найдем таблицу истинности для выражения r.

Используя таблицу истинности для, приведенную выше, построим сначала таблицы столбцы истинности для и q r, учитывая, что импликация ложна только в случае, когда T F.

  • Эквиваленция

Очевидно, таблица истинности для p определяет таблицу истинности. Эквиваленция является формализацией сложного союза тогда и только. Если есть два высказывания p и q, то высказывание p тогда и только тогда когда q записывается в символьном виде, а знак называется знаком эквиваленции или равнозначности. Записи и q p означают одно и то. Можно сконструировать и другие логические операции, но мы их здесь пока не рассматриваем. Во избежание неоднозначности лучше всегда использовать скобки.

Однако в логике, как и в алгебре, имеется приоритет выполнения операций.

Основы формальной логики

Они выполняются в следующей последовательности: Поэтому указанные выражения следует интерпретировать следующим образом: Особый интерес представляют сложные высказывания, имеющие различное строение, но являющиеся истинными в одних и тех же случаях.

Как говорилось ранее, такие высказывания называются логически эквивалентными. Эквивалентность двух высказываний легко установить посредством сравнения их таблиц истинности. Например, пусть р и q обозначают высказывания р: Сегодня шел дождь, q: Рассмотрим сложные высказывания Неверно, что сегодня шел дождь или снег, или символически и Сегодня не шел дождь и сегодня не шел снег, или символически Построим таблицы истинности для обоих высказываний.

Используя таблицы истинности, можно доказать следующие логические эквивалентности: В начале этого параграфа был доказан закон де Моргана пункт e 1. Другие пункты доказываются аналогично. Высказывание, истинное во всех случаях, называется логически истинным, или тавтологией.

Информатика — Логика

Например, в прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин катетов равна квадрату длины гипотенузы. Теоремы в математике являются примерами тавтологий. Высказывание Он сдаст или не сдаст экзамен есть пример тавтологии, поскольку либо одно событие, либо другое обязательно должно иметь место. Высказывание Быть или не быть, это и есть тавтология. Высказывание Он сдаст зачет и не сдаст зачет всегда ложно. Высказывание истинно во всех четырех возможных случаях, следовательно, оно является тавтологией.

Дискретная математика. Конспект лекций. Оглавление. 1. Алгебра высказываний и логика.

Имея логически истинное высказывание-тавтологию, легко построить логически ложное высказывание - противоречие. Для этого достаточно взять отрицание логически истинного высказывания. Пусть символ Т обозначает высказывание, которое есть тавтология и поэтому имеет таблицу истинности, состоящую из одних T.

Символом F обозначим противоречие, то есть высказывание, таблица истинности которого содержит F во всех строках. Используя таблицы истинности, легко проверить, что В высказывании можно заменить любую его компоненту на логически эквивалентное ей высказывание. Полученное в результате такой замены высказывание будет логически эквивалентно исходному, поскольку истинностное значение высказывания зависит исключительно от истинностных значений составляющих его компонент но не от их формы или сложности.

Например, 10 11 Здесь мы использовали законы логики для образования новых эквивалентных высказываний. Выделяют следующие отношения понятий по объему: Суждение - это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, признаках или их отношениях.

Формулы и законы логики

Умозаключение - форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем суждение-заключение. Алгебра в широком смысле этого слова наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые могут выполняться не только над числами, но и над другими математическими объектами.

Объектами алгебры логики или булевой алгебры являются высказывания. Высказывание - это любое предложение какого-либо языка утверждениесодержание которого можно определить как истинное или ложное. Всякое высказывание или истинно, или ложно; быть одновременно и тем и другим оно не. В естественном языке высказывания выражаются повествовательными предложениями. Восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не являются.

Тождеств довольно много и я перечислю самые важные и самые известные из них: Коммутативность конъюнкции и коммутативность дизъюнкции Коммутативность — это перестановочность: Знакомые с 1-го класса правила: И, кроме того, здесь я снова хочу подчеркнуть формализм математической логики. И в самом деле: Закон идемпотентности Что делать, латынь Прямо какой-то принцип здоровой психики: Законы поглощения В правом тождестве скобки можно опустить.

Законы де Моргана Предположим, что строгий Преподаватель имя которого вам тоже известно: Тогда высказываниегласящее о том, что Студент не сдал экзамен, будет равносильно утверждению — Студент не ответил на 1-й вопрос или на 2-й вопрос. Как уже отмечалось выше, равносильности подлежат доказательству, которое стандартно осуществляется с помощью таблиц истинности. В действительности мы уже доказали равносильности, выражающие импликацию и эквиваленцию, и сейчас настало время закрепить технику решения данной задачи.

Конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция, отрицание. На примерах из жизни. Логика.

Далее приписываем единичный столбец и применяем к ним правило И: